#解析力学_Hamilton形式編 23 並べて比較 ▶#ラグランジュ形式 #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ▶#ハミルトン形式 #正準運動量 p=∂L/∂q̇ #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p-L(q,q̇) #ハミルトンの正準方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 22 #ハミルトン形式 を整理: #正準運動量 p＝∂L/∂q̇と #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p－L(q,q̇) を定義すると， #作用 S=∫{t1→t2}Ldt および #最小作用の原理 δS=0の式は Lの代わりに Hの式となり， #ハミルトンの正準方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p が導出される.

#解析力学_Hamilton形式編 11 Q. 1次元調和振動子の運動は (p,x)の #相空間 内で楕円軌道. ↑ これは，時間tをあえて軸に取らない #ハミルトン形式 の特徴ですが そのメリットは？ A. 運動全体の様子が 有限の描画範囲内に収まれば， 運動の「構造」を定性的に把握しやすい. ※「構造」が重要！

#解析力学_Hamilton形式編 8 Q. 物理学で #相空間(#位相空間)とは A. phase space ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… 力学系の位置qと運動量pを 座標(直交軸)とする空間. 数学の位相空間(topological space)とは別物. #ハミルトン形式 では 物理量は #正準変数 q,pの関数で 相空間上で軌道を描く.

＜#解析力学の参考書＞ 「運動と力学」 (岩波書店2001佐藤) 前書きより引用: 『本書は #ラグランジュ形式 や #ハミルトン形式 の 独立した入門書である。… 勝手に #人工的 に 持ち込んだ #座標系 は， (自然界の一般化された) #自然法則 の中には 残っていては いけないはずである。』

＜#解析力学の参考書＞ SGCライブラリ 「現代物理のための解析力学」(2006早田) 前書きより 『題材を統一的につなぐ キーワードとして #幾何学 を常に念頭に置いた. #ハミルトン形式 に見られる 幾何学的 #構造 が #量子論 にも現れることを示し #解析力学 を学ぶ動機を 持たせようとした』

＜#解析力学の参考書＞ 「重点解説 ハミルトン力学系」(2016柴山) 前書きより: 『1章では #ラグランジュ形式， #ホロノーム拘束系 の #運動方程式 の導出. #多様体 上の #ラグランジュ系 の例として #測地線 の #方程式 を挙げる. 2章以降では ほとんど #ハミルトン形式 で 議論を進める.』

#解析力学_保存量と対称性編 19 Q. #ネーターの定理 と #第一積分 との関係 A. ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… ネーターの定理によれば 「#ラグランジュ形式 または #ハミルトン形式 の物理系に関し， 系の1つの連続的な #対称性 に付随して 1つの #第一積分 が存在する.」

#解析力学_保存量と対称性編 19 Q. #ネーターの定理 と #第一積分 との関係 A. ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… ネーターの定理によれば 「#ラグランジュ形式 または #ハミルトン形式 の物理系に関し， 系の1つの連続的な #対称性 に付随して 1つの #第一積分 が存在する.」

#解析力学_Hamilton形式編 27 Q. #ラグランジュ形式 と比較して #ハミルトン形式 のメリット&デメリット A. デメリット: #オイラー・ラグランジュ方程式 と比べ #ハミルトンの正準方程式 は 変数も方程式も個数が2倍. メリット: #微分方程式 の階数が1階で済み #量子力学 へ移行もしやすい.

#解析力学_Hamilton形式編 23 並べて比較 ▶#ラグランジュ形式 #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ▶#ハミルトン形式 #正準運動量 p=∂L/∂q̇ #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p-L(q,q̇) #ハミルトンの正準方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 22 #ハミルトン形式 を整理: #正準運動量 p＝∂L/∂q̇と #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p－L(q,q̇) を定義すると， #作用 S=∫{t1→t2}Ldt および #最小作用の原理 δS=0の式は Lの代わりに Hの式となり， #ハミルトンの正準方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p が導出される.

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」(2005砂田) p6より 『#ハミルトン形式 で 表現された #力学系(S,ω,H)で #微視的状態 は #シンプレクティック多様体 (相空間)Sの元であり， #ハミルトン関数 Hは #力学的エネルギー (運動エネルギーと ポテンシャルエネルギーの和) の一般化.』

#解析力学_Hamilton形式編 11 Q. 1次元調和振動子の運動は (p,x)の #相空間 内で楕円軌道. ↑ これは，時間tをあえて軸に取らない #ハミルトン形式 の特徴ですが そのメリットは？ A. 運動全体の様子が 有限の描画範囲内に収まれば， 運動の「構造」を定性的に把握しやすい. ※「構造」が重要！

#解析力学_Hamilton形式編 8 Q. 物理学で #相空間(#位相空間)とは A. phase space ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… 力学系の位置qと運動量pを 座標(直交軸)とする空間. 数学の位相空間(topological space)とは別物. #ハミルトン形式 では 物理量は #正準変数 q,pの関数で 相空間上で軌道を描く.

#解析力学_Hamilton形式編 27 Q. #ラグランジュ形式 と比較して #ハミルトン形式 のメリット&デメリット A. デメリット: #オイラー・ラグランジュ方程式 と比べ #ハミルトンの正準方程式 は 変数も方程式も個数が2倍. メリット: #微分方程式 の階数が1階で済み #量子力学 へ移行もしやすい.

#解析力学_Hamilton形式編 23 並べて比較 ▶#ラグランジュ形式 #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ▶#ハミルトン形式 #正準運動量 p=∂L/∂q̇ #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p-L(q,q̇) #ハミルトンの正準方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 22 #ハミルトン形式 を整理: #正準運動量 p＝∂L/∂q̇と #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p－L(q,q̇) を定義すると， #作用 S=∫{t1→t2}Ldt および #最小作用の原理 δS=0の式は Lの代わりに Hの式となり， #ハミルトンの正準方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p が導出される.

#解析力学_Hamilton形式編 11 Q. 1次元調和振動子の運動は (p,x)の #相空間 内で楕円軌道. ↑ これは，時間tをあえて軸に取らない #ハミルトン形式 の特徴ですが そのメリットは？ A. 運動全体の様子が 有限の描画範囲内に収まれば， 運動の「構造」を定性的に把握しやすい. ※「構造」が重要！

#解析力学_Hamilton形式編 8 Q. 物理学で #相空間(#位相空間)とは A. phase space ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… 力学系の位置qと運動量pを 座標(直交軸)とする空間. 数学の位相空間(topological space)とは別物. #ハミルトン形式 では 物理量は #正準変数 q,pの関数で 相空間上で軌道を描く.

＜#解析力学の参考書＞ 「運動と力学」 (岩波書店2001佐藤) 前書きより引用: 『本書は #ラグランジュ形式 や #ハミルトン形式 の 独立した入門書である。… 勝手に #人工的 に 持ち込んだ #座標系 は， (自然界の一般化された) #自然法則 の中には 残っていては いけないはずである。』

＜#解析力学の参考書＞ SGCライブラリ 「現代物理のための解析力学」(2006早田) 前書きより 『題材を統一的につなぐ キーワードとして #幾何学 を常に念頭に置いた. #ハミルトン形式 に見られる 幾何学的 #構造 が #量子論 にも現れることを示し #解析力学 を学ぶ動機を 持たせようとした』

＜#解析力学の参考書＞ 「重点解説 ハミルトン力学系」(2016柴山) 前書きより: 『1章では #ラグランジュ形式， #ホロノーム拘束系 の #運動方程式 の導出. #多様体 上の #ラグランジュ系 の例として #測地線 の #方程式 を挙げる. 2章以降では ほとんど #ハミルトン形式 で 議論を進める.』