#群論入門_作用と軌道編 32 Q. 「#群 Gによるxの #軌道 の要素数 |G x| ＝ #固定部分群 G_xによる 『Gの右剰余類の個数』★」 ↑ ★を言い換えると A. Gの #部分群 Hによる 「#左分解 に現れる #左剰余類 の個数」 ＝ 「#右分解 に現れる #右剰余類 の個数」 ＝GにおけるHの #指数 ＝|G:H|

#群論入門_中心化群と類等式編 43 #共役類 と #中心化群 で #群 の #位数 を表すための話の流れ② ・1つの共役類 K_i の 要素数 |K_i| を求めるには… ・K_i 内のある #代表元 a_i をとると K_i＝(a_i)^Gと書ける ・中心化群C( a_i )で Gを #左分解 した時の #指数 |G : C(a_i)|＝|K_i|

#群論入門_剰余類編 101 ↑ このハッシュタグの復習： ▶集合の… ・ #分割(#類別)，#類 ・ #同値分割，#同値類 ▶#群 での… ・ #左合同，#左剰余類，#左分解 ・ #右合同，#右剰余類，#右分解 ▶部分群の… ・ #指数 ・ #ラグランジュの定理 全部思い出せますかな

#群論入門_剰余類編 99 英語名称のおさらい・続 #左合同 left congruence #右合同 right congruence #左剰余類 left coset #左分解 left coset decomposition #右剰余類 right coset #右分解 right coset decomposition #左代表系 left transversal #右代表系 right transversal

#群論入門_剰余類編 82 Q. #群論 の #ラグランジュの定理 を証明せよ A. #有限群 Gの #部分群 Hによる #左分解 が G＝H a_1＋H a_2＋…＋H a_N ならば Hの #指数 は|G:H|＝N. また |H a_1|＝|H a_2|＝…＝|H a_N|＝|H|. #類別 の性質より 各 #剰余類 は共通元を持たず |G|＝N|H|＝|G:H| |H|

#群論入門_剰余類編 79 Q. 部分群の #指数 とは. A. #有限群 G の #部分群 H による… ・ #左分解 に現れる #左剰余類 の個数 ・ #右分解 に現れる #右剰余類 の個数 は互いに等しく， その数を 群Gにおける部分群Hの指数と呼ぶ. |G:H| と表記する.

#群論入門_剰余類編 78 Q. #有限群 Gの #部分群 Hによる #左分解 と #右分解 の間になりたつ関係を 整理すると. A. 左分解が G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …　① ならば 右分解は G ＝ (a_1)^{-1} H ＋ (a_2)^{-1} H ＋ …　② で与えられ， ①と②の #類別 の項数(#類 の個数)は等しい.

#群論入門_剰余類編 77 Q. #有限群 Gの #部分群 Hがある時 GのHによる #左分解 の #左剰余類 の項数 ＝ GのHによる #右分解 の #右剰余類 の項数 を示せ. A. ある左剰余類Hxがある時 Hxに対応する右剰余類x^{-1}Hを ただ1つ作ることができ 逆も真. よって左剰余類と右剰余類は #1対1で対応.

#群論入門_剰余類編 73 #群 Gの元x,yと Gの #部分群 Hによる #左分解 がある時 xが属する #左剰余類 をHyとすれば x^{-1}が属する #右剰余類 はy^{-1}Hである. このように 左剰余類Hyをもとに 右剰余類y^{-1} Hを次々につくる時， つくられた右剰余類の集合は Gの #右分解 になるだろうか?

#群論入門_剰余類編 72 Q. #群 Gの #部分群 Hによる #左分解 がある時 #類別 の性質より Gの任意の元は Hによるいずれかの #左剰余類 に属する. この時 Gの任意の元は Hによるある #右剰余類 にも属する事を示せ A. 前ツイより x∈Hy⇒x^{-1}∈y^{-1}H ∴Gの任意の元がある右剰余類に属する

#群論入門_剰余類編 67 Q. #左分解 や #右分解 を， 「Gという集合を Gよりも小さな Hという部品に分解できる」と解釈してみる. その場合， Hは適当な部分集合で良いのか? A. そうではなく Hは #群 の #公理 を満たす必要がある. 単なる「部分集合」と 構造を持つ「#部分群」との差がこれ.

#群論入門_剰余類編 66 Q. #群 Gを #左分解 または #右分解 する際の #部分群 Hとして Gの #自明な部分群，つまり ・G自身 or ・ #単位群{e} を使うとどうなる? A. たとえ: 多項式f(x)を因数分解する時， 共通因数として f(x)自身または 1という数をくくりだしても 意味ある分解にならない.

#群論入門_剰余類編 65 Q. 「#群 Gが #部分群 Hを持つ時 GをHによって #左分解 または #右分解 できる」 わかりやすく例えると A. 式の因数分解で 複数の項から 共通の因数をくくりだすのと似ている. 「因数分解における共通因数」が 「群Gの左分解や右分解における部分群H」 というわけ

#群論入門_剰余類編 61 Q. #左代表系 とは. A. #群 Gの #部分群 Hによる #左分解 G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ … における { a_1, a_2, … } のこと. 各 #左剰余類 H a_i ごとに その #類 の #代表元 a_i を 任意に選んだものの集合が 全ての左剰余類の #完全代表系 をなし 左代表系という.

#群論入門_剰余類編 60 Coset Decomposition (#剰余類 に分解すること) emathzone.com/tutorials/grou… ・right coset decomposition(#右分解): The set of all right cosets of H in G gives a partition(#分割) of G. ・left coset decomposition(#左分解)

#群論入門_剰余類編 59 Q. #群 G の #部分群 H による #右分解 とは. A. #左分解 の時と同じく G の H による #右剰余類 を b_1 H, b_2 H, … とする時， これらを使って Gを #類別(#同値分割)した式 G ＝ b_1 H ＋ b_2 H ＋ … を G の右分解という.

#群論入門_剰余類編 57 Q. #群 G の #部分群 H による #左分解 G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ … において， a_1, a_2, … は何を表すか. A. 元 a_i は 左剰余類 H a_i の #代表元 で， #類 の中での代表元の選び方には任意性がある. 元 { a_1, a_2, … } は 全ての左剰余類の #完全代表系.

#群論入門_剰余類編 56 Q. #群 G の #部分群 H による #左分解 とは. A. G の H による #左剰余類 を H a_1, H a_2, … とする時， これらを使って Gを #類別(#同値分割)した式 G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ … を， G の左分解という.

#群論入門_剰余類編 1 ↑ このタグでは #部分群 や #巡回部分群 を既知として 下記を解説しますぞ！ ▶集合の… ・ #分割(#類別)，#類 ・ #同値分割，#同値類 ▶#群 での… ・ #左合同，#左剰余類，#左分解 ・ #右合同，#右剰余類，#右分解 ▶部分群の… ・ #指数 ・ #ラグランジュの定理