#群論入門_置換群編 104 Q. #偶置換，#奇置換 とは. A. ある #置換 σ が… ・偶数個の #互換 の積に分解されるなら σ は偶置換(even permutation)で， sgn(σ) ＝ +1. ・奇数個の互換の積に分解されるなら σ は奇置換(odd permutation)で， sgn(σ) ＝ -1.

#群論入門_置換群編 103 まとめ #置換→#巡回置換→#互換→#隣接互換 ①任意の置換は #互いに素 な巡回置換の積に 一意に分解可能. ②長さnの巡回置換は n-1個の互換の積に分解可能. ③任意の互換は 隣接互換の積に分解可能. ※②③の分解は一意ではないが 互換の個数の偶奇は一定.

#群論入門_置換群編 102 #置換 の符号(偶奇性) Parity of a permutation ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE… 置換 σ を #互換 の積に分解する際， その分解に現れる互換の数が m ならば sgn(σ) ＝ (−1)^m よって σが偶数個の互換の積なら sgn(σ) ＝ +1, σが奇数個の互換の積なら sgn(σ) ＝ -1

#群論入門_置換群編 101 ①#置換 を #互いに素 な #巡回置換 の積に分解する方法は 一意である. ②長さnの #巡回置換 を n-1個の #互換 の積に分解する方法は 一意ではない. ③ ②より，置換を 互換の積に分解する方法は 一意ではない. が，この時の「互換の個数の偶奇性」は一定.

#群論入門_置換群編 100 Q. #置換 を #互換 や #隣接互換 に分解する という考え方は 計算機科学にどう応用できるか A. ソートのアルゴリズムを 分析・描写するのに役立つ. 置換，転倒数 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE… ＞…バブルソートや挿入ソートはこの方法で列を正順にする実例と解釈できる

#群論入門_置換群編 99 ①任意の #置換 は #互いに素 な #巡回置換 の積に 一意に分解可能 ②長さnの #巡回置換 は n-1個の #互換 の積に分解可能 ①②より， 任意の置換→互いに素な巡回置換→互換 の順に分解できるので… ③ 任意の置換は (巡回置換を経由して) 互換の積に分解できる.

#群論入門_置換群編 98 Q. 「n次の #置換 で 長さmの #巡回置換 は #互換 m-1個の積で表せる」 ↑ どういうことか. A. σ ＝ ( α_1, α_2, …, α_m ) である時 σ ＝ ( α_1, α_2 ) ･( α_2, α_3 ) ･ … ･(α_{m-2}, α_{m-1} ) ･(α_{m-1}, α_m ) のように m-1個の互換の積として表せる.

#群論入門_置換群編 96 Q. #置換 を #巡回置換 の積に分解した際 (1,2,3)を(3,1,2)と書けるなど 表記が一意に定まらないのでは A. 一意になる記法がある. Canonical cycle notation en.wikipedia.org/wiki/Permutati… 巡回置換内で最大要素を先頭に. 先頭要素の小さい順に巡回置換を左から並べ積.

#群論入門_置換群編 95 #置換 を #巡回置換型 によって分類したリスト: Permutations by cycle type en.wikiversity.org/wiki/Permutati… #対称群 S_n の #共役類 は 巡回置換型によって決まる. 現れる巡回置換の長さが 重複度を込めて一致しているような (#型 の同じ)置換は 同じ共役類に入る.

#群論入門_置換群編 94 Cycle type of a permutation (#置換 の #巡回置換型) groupprops.subwiki.org/wiki/Cycle_typ… the data of how many cycles of each length are present in the cycle decomposition of σ. 置換σの #巡回置換分解 中に それぞれの長さの #巡回置換 が いくつあるかという情報.

#群論入門_置換群編 93 Permutation type (#置換 の #型) en.wikipedia.org/wiki/Permutati… ある置換σが σ＝(1,2,5)(3,4)(6,8)(7) として #互いに素 な #巡回置換 の積に分解される時， 各 巡回置換の長さを並べた (3,2,2,1)が σの #巡回置換型. (1,2,2,3)とか [1^1･2^2･3^1]と書いてもよい.

#群論入門_置換群編 92 Q. #巡回置換型 とは. A. #置換 σ の巡回置換型(cycle type) あるいは単に，その置換の #型(type) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… 「ある置換を #互いに素 な #巡回置換 の積に分解した時 どのような長さの巡回置換を いくつ積として含むか」を すべて列挙した情報.

#群論入門_置換群編 91 Q. #置換 を #互いに素 な #巡回置換 の積に分解することを 何と呼ぶか A. 「#巡回置換分解」 Cycle decomposition for permutations groupprops.subwiki.org/wiki/Cycle_dec… ※cycleとは巡回置換のこと. en.wikipedia.org/wiki/Permutati… decomposition into disjoint cycles.

#群論入門_置換群編 90 ここまで #あみだくじ の力を借り #置換，#互換，#隣接互換 の間の関係を 直観的にわかる仕方で調べてきた. あみだくじの力を借りない場合 図に頼らず ・置換を #巡回置換 の積で表し ・巡回置換を互換の積で表し ・互換を隣接互換の積で表す というステップを踏む.

#群論入門_置換群編 88 Q. 任意のn次 #置換 σを表す #あみだくじ が 存在する事を帰納法で示せ A. n=2の時 恒等置換と互換(1, 2). n=kの時成り立つ★なら n=k+1の時 ①σがk+1をk+1に移すなら縦線を右端に加筆. ②σがN(≦k)をk+1に移すなら互換(N, k+1)を表すあみだくじを★に合成すればOK.

#群論入門_置換群編 84 #あみだくじ を代数的に解説した本: ▶「ブルーバックス・群論入門」(芳沢,2015) p26 あみだくじ＝#隣接互換 の積 p28 あみだくじと #置換 を相互変換 ▶「あみだくじの数学」(小林,2011) 1章と3章 複雑なあみだくじを簡約化するため #コクセター関係式 を利用

#群論入門_置換群編 83 Q. 任意の #置換 は #隣接互換 の積. #コクセター関係式 を使い 積の中の隣接互換の個数を減らせる. ↑ いくつまで減らせるの? A. その置換σのもつ「転倒数」(inversion number) inv(σ)によって変わってくる. 興味あったら見てみてね ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE… .

#群論入門_置換群編 81 #互換 や #隣接互換 が満たす 3つの関係式を使えば… ▶複雑な互換の積を簡単化できる. (つまり，#置換 を より少ない互換の積で表すのに役立つ.) ▶#あみだくじ は互換の積なので， 複雑なあみだくじを簡単化できる. 複雑な #結び目 を ほどくのに似てますな！

＜#代数学の参考書＞ 「ルービック・キューブと数学パズル」(2008島内) p111より: 『αに #無関係 で βにだけ #関係 のある #面 も 最終的に動きはない. したがって α，β がある程度 #簡単 な #置換 のとき， #交換子 α∘β∘α^{-1}∘β^{-1} は もっと簡単な置換に なっている可能性がある.』

#群論入門_置換群編 75 Q. #置換 a＝ (1,2,3,4 2,1,4,3) を #隣接互換 の積で表すことを考える. aが，隣接互換 b＝(1,2) c＝(3,4) の積で2通りに表せる事を #あみだくじ で図示して確かめよ. A. 1 2 3 4 ├┤├┤ 1 2 3 4 a＝bc＝cb ここで bとcの #合成 の順序は問題にならない.

#群論入門_置換群編 70 Q. 「#対称群 S_n は #隣接互換 で #生成 される.」 どういうことか. A. 任意の #置換 は 隣接互換の積に分解できる. 隣接互換は #互換. 互換は #巡回置換. 巡回置換は置換. 置換は #置換群 の元. ∴隣接互換も置換群の元. 全ての隣接互換の集合はS_nの #生成系.

#群論入門_置換群編 69 ①任意の #あみだくじ は1つの #置換 を表す. ②任意の置換はあみだくじで図示できる.(1通りではない) ③あみだくじの横線1つは #隣接互換 1つを表す. つまりあみだくじは隣接互換の積(#合成). 以上より ④任意の置換は，隣接互換の積である.

#群論入門_置換群編 68 Q. #置換 a = (1,2,3 2,3,1) を表す #あみだくじ 1 2 3 │├┤ ① ├┤│ ② 1 2 3 の横線に注目し， 置換aを 2つの #隣接互換 の積(#合成)で表せ. A. ①の横線は隣接互換(2,3) ②の横線は隣接互換(1,2)を表すので a＝(1,2)(2,3)

#群論入門_置換群編 67 Q. #置換 を #あみだくじ として図示する際 #隣接互換 は図中で何を表すか. A. あみだくじの「横線1本」が 1つの隣接互換を表す. 例: 置換a＝ (1,2,3 1,3,2) を表すあみだくじは 1 2 3 │├┤ 1 2 3 置換aは隣接互換 (2, 3) に等しく 「2と3を入れ換える」.

#群論入門_置換群編 65 Q. #隣接互換 とは. A. #互換 のうち，とくに ( x, x+1 ) の形で表されるもの. 隣接互換 (adjacent transpositions) または 基本互換 (fundamental transpositions) と呼ぶ. 任意の #置換 は，実は (単なる互換の積ではなく) 隣接互換の積に分解できる.

#群論入門_置換群編 61 #互換 (transposition) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… ・ #置換 のうち，特に 「2つの元のみを入れ替えて 他の元は変えない」ものを互換という. ・すなわち，長さが 2 の #巡回置換 のこと.

#群論入門_置換群編 56 Q. 5次の #置換 で 長さ3の #巡回置換 の例として σ＝ (1, 4, 5 4, 5, 1) を考える. σ は，どのように元を 「巡回」させているか. A. 元がこのように循環(巡回)している. 1→ 4→5 ↑ 　　 ↓ └──┘ 2 →┐ ↑　 │ └─┘ 3 →┐ ↑　 │ └─┘

#群論入門_置換群編 55 Q. #巡回置換 とは. A. n 次の #置換 で ( x_1, x_2, x_3, …, x_{r-1}, x_r x_2, x_3, x_4, …, x_r,　　x_1 ) の形をしたものを 「長さ r の巡回置換」という. 6次の置換で，長さ3の巡回置換の例: (2, 4, 5 4, 5, 2)

＜#代数学の参考書＞ 「ルービック・キューブと数学パズル」(2008島内) p110より: 『#元 α に #逆元 α^{-1} を #結合 すれば α∘α^{-1} ＝ 1 で，全体としては 0個の #面 の #置換 になる. これでは何の役にも立たない. そこで次に 2つの元α，βに対し α∘β∘α^{-1}∘β^{-1} を考えると…』

#群論入門_置換群編 54 Q. n次の #置換 は ( 1, 2, …, n f(1), f(2), …, f(n) ) のように 横方向にn個の要素を すべて書かないといけないのか？ A. それだとめんどいので 動かない元 つまりx＝f(x)であるような元の列は 表記を省略する. 例: (1,2,3,4 1,4,3,2) ＝ (2,4 4,2)

#群論入門_置換群編 52 Q. #置換 をぜんぶ集めた #群 が #対称群 との事ですが そんな群を考えて 数学的に何か良い事でもあるの? A. #ガロア理論 で 「5次方程式に #解の公式 が無い」 ことの根本的な理由が 「1～4次までの対称群は #可解 だが 5次の対称群は可解ではない」 事なのである.

#群論入門_置換群編 51 #対称群 が #結合法則 を満たす事の証明 Prove that symmetric groups are associative math.stackexchange.com/questions/7798… this is just the associativity of function composition n次の3つの #置換 の積などを 頑張って計算する必要は無く #写像 の #合成 の性質から従う.

#群論入門_置換群編 50 対称群 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… ・ #対称群 (symmetric group) 「ものを並べ替える」 という操作全体を元とする #群. ・ #置換 (permutation) 「ものを並べ替える」操作のこと. ・ #置換群 (permutation group) 置換のうち 特別なものだけを集めて得られる群.

#群論入門_置換群編 49 Q. #置換群 とは. A. #対称群 の #部分群 のこと. つまり 元が全て #置換 であるような #群 のことを置換群という. 置換群の中でもとくに n次の置換すべてがなす群を #対称群 という.

#群論入門_置換群編 48 Q. n次の #対称群 S_n の #位数 を求めよ. A. #置換 を ( 1, 2, …, n f(1), f(2), …, f(n) ) と表すと， 自然数 x を受け取って y＝f(x) を返すような #全単射 な #写像 f は n! 通り存在するので | S_n | ＝ n!

#群論入門_置換群編 47 Q. #対称群 とは. A. サイズの同じ #置換 の全体がなす #群 のこと. Ω＝{ 1, 2, …, n } 上の 置換すべてを考える場合， n次の置換すべての集合がなす群は n次の対称群と呼ばれる.

#群論入門_置換群編 46 Q. #置換 の集合が #群 をなす事を示せ A. 置換どうしを #合成 すると サイズの同じ置換が生み出され 置換どうしの積という #二項演算 は #閉じている. 置換は #写像 なので #結合法則 を満たす. #恒等置換 は #単位元. #逆置換 は #逆元. ∴群の #公理 を満たす.

#群論入門_置換群編 44 Q. #置換 a＝ (1, 2, 3 2, 3, 1) の #逆置換 は. A. aは 1を2に移し 2を3に移し 3を1に移す. a^{-1}は逆に 2を1に移し 3を2に移し 1を3に移すので a^{-1}＝ (2, 3, 1 1, 2, 3) つまり 上段と下段を入れ換えれば逆置換になる. この時 aa^{-1}＝a^{-1} a＝id.

#群論入門_置換群編 43 Q. #逆置換 とは A. ある #置換 σがある時 置換τが存在し それらの積(置換の #合成)が #恒等置換 id となれば， τ を σ の逆置換と呼び τ＝σ^{-1} と書く. 置換において 一般に #交換法則 が成り立たないが 置換とその逆置換については στ ＝ τσ ＝ id が成り立つ.