#巡回群とは 72 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#巡回群 ･#べき ･#生成元 の位数 ･巡回群の #位数 ･例: #原始n乗根 ･巡回群の #部分群 ▶#群 の1つの元… ･…が #生成 する #巡回部分群 ･…の位数 ▶部分集合が #生成系 となる部分群 ･#べき積 全部思い出せますかな

#巡回群とは 71 下記を単語登録しておこう。 ‹ ›　「せいせい」 ^　「べき」または「はっと」 ※ ^ の名称 dic.pixiv.net/a/%5E ・サーカムフレックス･アクセント ・アクサンシルコンフレックス ・ハット記号 キャレットと呼ばれることもあるが Unicodeではキャレットは「 ‸ 」

#巡回群とは 70 英語名称の復習・続 群の #生成系(生成集合) generating set of a group #有限生成 finitely generated 有限生成群 finitely generated group 英訳の練習問題: ・ただ1つの生成元から生成される群を巡回群という。 ・生成系が有限集合である群を有限生成群という。

#巡回群とは 69 英語名称のおさらい #巡回群 cyclic group 単項生成群 monogenous group #生成元 generator 原始元 primitive #巡回部分群 cyclic subgroup #単位群(自明群) trivial group #位数 order

#巡回群とは 68 有限生成群 (finitely generated group) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… ・有限部分集合 S を #生成系 とする #群 G のこと. ・任意の #有限群 G は #有限生成 である. ・しかし，有限生成群の #部分群 は 必ずしも有限生成とは限らない.

#巡回群とは 67 Q. #群論 において #有限生成 とは. A. ある集合 S と， S が #生成系 となって #生成 される #群 G ＝ ‹S› について S が有限集合である時 G を有限生成(finitely generated)であるという.

#巡回群とは 66 ・ #群論 での「#生成系」 ・ #ベクトル空間 での「#基底」 ↑ 両者のつながり，関連性は この先も #代数学 の勉強をさらに進めていくと 色々見えてくると思います. 基底(basis) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA… ＞#線形代数 での基底とは，#線形独立 な生成系のこと.

#巡回群とは 65 Q. ①#群論 で #群 を生成するための #生成元 や #生成系. ②#線形代数 で #ベクトル空間 の #基底. ↑ 似てる? A. ①群の任意の元は 生成元の #べき または 生成系の #べき積 で 表せる. ②ベクトル空間の 任意の元(#ベクトル)は 基底ベクトルの #線形結合 で表せる.

#巡回群とは 64 x, y ∈#群 Gの時 Gの情報が芋づる式にわかる！ ▶#巡回部分群 の性質より ①xが #生成 する巡回群 ‹ x › はGの #部分群 ②yが生成する巡回群 ‹ y › はGの部分群 ▶#部分集合が生成系となる部分群 の性質より ③{ x, y } が #生成系 となる群 ‹ x, y › はGの部分群

#巡回群とは 63 Q. 群の #部分集合が生成系となる部分群 について学ぶと 「複数の元」と #部分群 の関係について見方が変わる。 「#群 Gがある2元x,yを要素に持つ」 という事は，何を意味する? A. 「Gは，部分集合M={x,y}が #生成系 となる 群 ‹M› を部分群に持つ」という事を意味する.

#巡回群とは 62 #群 G の元が g_1，g_2，g_3，… の時 Gの部分集合Mを色々変えながら Mが #生成系 となる #部分群 ‹M› を 作ってゆくと… H_1 = ‹ g_1, g_2 › H_2 = ‹ g_1, g_3 › H_3 = ‹ g_2, g_3 › H_4 = ‹ g_1, g_2, g_3 › … のように Gの #部分群 がざくざく手に入る！

#巡回群とは 61 Q. 群の #部分集合が生成系となる部分群 って スゴく便利なのでは？ A. #群 Gの複数の元の組み合わせで さまざまな部分集合Mを作れるが… そのどのMからも 「Mが #生成系 となる群」をつくれて その群は必ずGの #部分群 になる. Gの部分群をたくさん得たい時に，超便利！

#巡回群とは 60 Q. #群 Gの部分集合 M＝{ a_1, …, a_m } の #べき積 の全体がなす集合は Gの #部分群 である事を示せ. A. Mのべき積の全体という集合が 群をなす事は証明済み. ここでMはGの部分集合だから MはGの部分群となり M≤G が言える.

#巡回群とは 59 Q. #群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m} の #べき積 の全体は 群をなす事を示せ A. べき積同士の積はべき積で #二項演算 が #閉じている. どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK. #単位元 は(a_1)^0=e. 積の逆元の計算より べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積. ∴群の #公理 を満たす

#巡回群とは 58 Q. #べき積 どうしの積は べき積になるだろうか. #群 Gの部分集合 M={a,b}を #生成系 とし べき積z=(a^2)bに対し zとzの積は? A. Gが一般的な群の場合 z^2＝{(a^2)b}^2＝(a^2)b(a^2)b これは「Mから重複を許して 元の #べき 同士をかけ合わせた形」なので べき積である.

#巡回群とは 57 Q. 「#べき積 を作る際 #群 の部分集合Mから元を取り出す操作において 重複があってもよい」 ↑ どういう事か A. 例えばM={a, b}を #生成系 とする場合 (a^2)(b^3) とか a b^{-2} のような形だけでなく (b^2)(a^{-1})(b^3)a^2 みたいに M内の同じ元を繰り返し使ってよい.

#巡回群とは 56 #群 の部分集合によって #生成 される #部分群 について mathlandscape.com/group-generate/ 呼び名が長い. 群の #部分集合が生成する部分群 群の #部分集合が生成系となる部分群 #べき積 を作る際， 部分集合から元を取り出す操作において 重複があってもよい というのがポイント.

#巡回群とは 55 ① #群 Gの1元aが #生成 する Gの #巡回部分群 ‹a› ② 群Gの部分集合Mが生成する Gの #部分群 ‹M› は， ・「Mが生成するGの部分群」 ・「Mが #生成系 となるGの部分群」 ↑ ②に名前を付けると… #部分集合が生成する部分群 #部分集合が生成系となる部分群 長っ！

#巡回群とは 54 #群 Gの部分集合Mから #生成 される Gの #部分群 (すなわち Gの複数元の #べき積 を要素に持つ Gの部分群) を ‹M› と書き ①「Mが生成するGの部分群」 ②「Mが #生成系 となるGの部分群」 と呼ぶ. ↑ ①や②を 1つの用語で言い表す方法がない. (巡回群みたいな名前が無い)

#巡回群とは 53 #群 Gの1元aから #生成 される (すなわちaの #べき を要素に持つ) Gの #部分群 ‹a› を 「aが生成するGの #巡回部分群」 と呼び #巡回群 である. ↑ これをaのかわりに Gの部分集合Mで言い換えようとしたとき 「巡回部分群」「巡回群」の所で かわりの用語が無くて困る.

#巡回群とは 52 群の #生成系(生成集合) generating set of a group ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… ・部分集合Sで， #生成 される #部分群 のすべての元が Sの有限個の元と それらの #逆元 の結合として表現できるもの. ・S 内にただ1つの元 x しかなければ， ‹S› を ‹x› と書く.

#巡回群とは 51 Q. #群論 において #生成系 とは. A. #群 G のある部分集合 M ＝ { a_1, a_2, …, a_m } がある時， M の元の #べき積 の形で書ける全ての元からなる G の #部分群 を H ＝ ‹M› と書き， 「H の生成系は M である」という.

#巡回群とは 50 Q. #群 Gの部分集合 M＝{ a_1, a_2, …, a_m } がある時， Mの元の #べき積 とは A. z＝(a_{x_1})^{n_1}･(a_{x_2})^{n_2}･…･(a_{x_r})^{n_r} x_1, x_2, …, x_r ∈ { 1, 2, …, r } (※重複可) n_1, n_2, …, n_r ∈ℤ(※0や負の指数も可) の形で書けるGの元 z のこと.

#巡回群とは 49 Q. ここまでで #群 Gの「1つの元」aから #生成 される #巡回群 ‹a› を考えてきた. では 群Gの「複数の元」から生成されるのは? A. 群Gの部分集合 M＝{ a_1, a_2, …, a_m } に対し， これらの要素の #べき を 組み合わせた積(#べき積)の全体がなす群を考える.

#巡回群とは 48 以前 「#真部分群(自明でない #部分群)を持たない #群 は #単位群{e}と自分以外に部分群を持たない. これは素数★に似ている(1と自分でしか割り切れない)」との例えを使った. 前ツイによると 「真部分群を持たない群は 素数★ #位数 の #巡回群 のみ」. 素数つながりである.

#巡回群とは 47 前ツイの解説: #群 G内に #単位元 eではない元aがあれば， その元a(≠e)を使って 必ず #巡回部分群 ‹a› (≤ G) を作れる. これはGの部分群であり， e, a ∈ ‹a› より ‹a› の位数は2以上. つまり Gの #位数 が2以上なら， Gは「位数が2以上の巡回部分群」を必ず持つ.

#巡回群とは 46 Q. #群 Gが |G|≧2で #真部分群 を持たなければ Gは素数 #位数 の #巡回群 である事を示せ. A. #単位元 ではない元a∈Gに対し‹a›≤Gだが 題意より‹a›は真部分群でないので‹a›＝G. 前ツイより |G|が合成数nなら nの約数mにより位数n/mの部分群があるので |G|は素数.

#巡回群とは 45 ここで得られた結果は 「#巡回群 Gには， |G|の任意の約数mに対し #位数 がmであるような Gの #巡回部分群 がただ1つ存在」 というもの. 群論の勉強を進めると，この先 「#群 Gの任意の #部分群 の位数は |G|の約数」 (#ラグランジュの定理) というのを学ぶのでお楽しみに.

#巡回群とは 44 前ツイの解説: 「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは aのある #べき で生成される巡回群」 を既に示してある. ここで 「Hの #位数 mを固定すると Hの #生成元 a^i＝a^sも そこから一意に特定できる」 という事を言えれば， 特定の位数mの部分群Hが 一意だと示せる.

#巡回群とは 43 Q. #位数 n の #巡回群 ‹a›と nの約数mに対し 位数mの #部分群 が ただ1つ存在する事を示せ A. 位数mの任意の部分群をHとし a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおけば 前ツイまでよりH=‹a^s›. 巡回群の位数の性質より (a^s)^m＝e＝a^n ∴s＝n/m Hの #生成元 は唯一a^(n/m).

#巡回群とは 42 前ツイの解説: 「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは必ず巡回群.」 を示すには… 「Hの全ての元が ある元a^sの #べき として書ける」 つまりHに #生成元 がある事を示せばよい. 割り算の商と余りの議論で 余り=0を示し どの元も生成元a^sのべき乗である事を導く.

#巡回群とは 41 Q. #巡回群 G＝‹a›の #部分群 Hは 巡回群である事を示せ A. G,Hの元はa^iの形. a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおく① Hの元a^jでj=qs+r(0≦r≦s-1)②とおく. a^j={(a^s)^q}a^r →{(a^(-s))^(-q)}(a^j)=a^r 左辺a^s,a^(-s),a^j∈Hより右辺a^r∈H ①②よりr=0. ∴H=‹a^s›

#巡回群とは 40 Q. #群 Gの元aの #位数 がnの時 a^m(m∈ℕ)の位数は? A. mとnの最大公約数がGCD(m,n)=d M,Nは互いに素な自然数で m=Md n=Ndの時 a^n=a^(Nd)=e ここで a^m=a^(Md)をN乗すれば { a^(Md) }^N =a^(MdN) ={a^(Nd)}^M =e より |a^m|=N=n/d=n/GCD(m,n). ※最小性に追加証明が必要.

#巡回群とは 39 Q. #群 G の元 a の #位数 が n で m は n の約数とする. このとき n/m ＝ d は整数である. a^d の位数は? A. 「その元を何乗すると #単位元 になるか」 という最小の値が位数である点に注意. a^n＝e のとき { a^(n/m) }^m ＝ a^n ＝ e なので ∴ | a^(n/m) | ＝ m.

#巡回群とは 38 Q. #群 Gの元aの #位数 がnで mはnの約数とする. a^mの位数は? A. a^i=e(#単位元)となる自然数iのうち 最小のものがnであり a^n=e. n=md (m,dは自然数)とおくと a^(md)=e. ここで md=knとなる最小の自然数kはk＝1より (a^m)^d=a^n=eとなる自然数dは d=n/m ∴|a^m|＝n/m

#巡回群とは 37 Q. ここまで出てきた「#位数」の定義を整理 ①#有限群 Gの位数 ②#巡回群 ‹a› の元 x の位数 ③巡回群とは限らない一般の #群 Gの元aの位数 A. ① 群Gに属する異なる元の個数. ② x^n=eとなる最小の自然数n. ③ aが #生成 する #巡回部分群 ‹a› の位数 |‹a›|.

#巡回群とは 36 Q. 「#巡回群 の元の #位数」は定義済. では 巡回群とは限らない一般の #群 Gの 元aの位数とは. A. aが #生成 する #巡回部分群 ‹a›={…, a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a, a^2, …} が位数nの #有限群 なら 元aの位数はnとする. →巡回群でない一般の群も 元の位数を定義可能

#巡回群とは 35 ①#巡回群‹a›の #生成元 aに対し a^i=eとなる最小の自然数iを 生成元aの #位数 と呼ぶ. ②任意の #群 Gの 任意の元xは， xを生成元とする #巡回部分群‹x›を生み出せて， ①より‹x›は位数をもつ. ↓ 任意の群Gの 任意の元xは それぞれ位数の情報を持てるのではないか?

#巡回群とは 34 Q. #加法群 G の ある1つの元 a について a が #生成 する #巡回部分群 は. A. 加法群の場合，演算の #べき は a^1＝a a^2＝a＋a ＝ 2a a^m＝a＋a＋…＋a ＝ ma a^{-m}＝ －ma と表せて H ＝ ‹ a › ＝ { ma | m∈ℤ } Hは (一般に)#無限群 かつ #巡回群 かつ Gの #部分群.

#巡回群とは 33 x∈#群 Gの時 Gの情報が芋づる式にわかる！ ▶群の #公理 より ①xの #逆元 x^{-1}もGに属する ②#二項演算 が #閉じている ので xの正の #べき x^2, x^3, …と xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する ▶#巡回部分群 の性質より ③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群