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#解析力学_保存量と対称性編 3 Q. n自由度の系で #循環座標 q_iが存在する時 #ラグランジアン Lはどんな形か A. 一般にLはq,q̇,tの関数で L( q_1, q_2, …, q_n, q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t) Lは循環座標q_iに依存しないので L( q_1, q_2, …, q_{i-1}, q_{i+1}, … q_n, q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t)
#解析力学_保存量と対称性編 2 Q. #循環座標 とは. A. 循環座標 (cyclic coordinates) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA… #ラグランジアン L が 関数として陽に依存しない 一般座標変数 q_i のこと. もし循環座標が存在する場合, それに対応する共役運動量 p_i は 系の #保存量(#第一積分)となる.
#解析力学_Hamilton形式編 28 Q. #ラグランジアン よりも #ハミルトニアン のほうが 有名な気がしてしまうのですが…why? A. #量子力学 の演算子導入部で ハミルトニアンを使って数式を記述しますし ハミルトニアン(全エネルギー)に比べ ラグランジアンの物理的意味を解釈しづらいためかと
#解析力学_Hamilton形式編 23 並べて比較 ▶#ラグランジュ形式 #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ▶#ハミルトン形式 #正準運動量 p=∂L/∂q̇ #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p-L(q,q̇) #ハミルトンの正準方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p
#解析力学_Hamilton形式編 13 Q. #最小作用の原理 から #ハミルトンの正準方程式 を導出 A. 計算は下記URL参照 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80… #作用積分 Sは #ラグランジアン Lの時間積分. Lと #ハミルトニアン Hに #ルジャンドル変換 による変換関係があるので SをHで表せて Sの停留点を求める.
#解析力学_Hamilton形式編 2 Q. #ルジャンドル変換 とは A. Legendre transformation ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB… 関数の変数を その微分に変えるために用いられる変換. 用途例: ・ #熱力学 における #熱力学関数 間の変換 ・ #解析力学 における #ラグランジアン を #ハミルトニアン に変換
#解析力学_Lagrange形式編 118 整理: 物理的安定性を要請すると 「#ラグランジアン は q̈など2階以上の変数を含まない」と仮定でき, L=L(q,q̇)とおけて #最小作用の原理 δS=δ∫Ldt=0 に代入すると, #オイラー・ラグランジュ方程式 や #ニュートンの運動方程式 は 2階の微分方程式になる.
#解析力学_Lagrange形式編 113 「変分法と変分原理」(森北出版2017柴田)の 3-5「高階導関数を含む変分問題」に #ラグランジアン が2階導関数を含まない件が書かれている。 p143から引用: 『2階導関数までを含む場合のオイラー方程式は, 独立変数xの4階常微分方程式となる。(続)』
#解析力学_Lagrange形式編 111 現実の物理世界では #エネルギー は-∞に発散せず最小値を持つ. #ハミルトニアン が下に #有界 ↓ そのような系は #線型不安定性 (#オストログラドスキー不安定性)をもたない ↓ そのような系は #ラグランジアン にq̈を含まない (#オストログラドスキーの定理)
#解析力学_Lagrange形式編 104 Q. 「LはL(q,q̇)とおく事ができ q̈や高階微分変数を含まない」 と仮定できる理由 A. 「#ラグランジアン がq̈を含む系は エネルギーの最小状態が存在せず 物理的に不安定になる」事が知られている. ・ #線型不安定性 ・ #オストログラドスキー不安定性 と呼ぶ.
#解析力学_Lagrange形式編 103 「#ラグランジアン Lが q̈やそれ以上の高階微分を 変数として含む時 #オイラー・ラグランジュ方程式 は 3階以上の微分方程式になる」 ということが分かった. でも普通の #解析力学 ではL=L(q,q̇)とおき #オイラー・ラグランジュ方程式 は2階. なぜそうおける?
#解析力学_Lagrange形式編 102 #ラグランジアン L(q,q̇,…,q^(n)) が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 は Σ{k=0→n} {(-1)^k}・(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 Lがqの2階微分まで含み L=L(q,q̇,q̈)ならば ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)+(d^2/dt^2)(∂L/∂q̈)=0 qに関する4階微分方程式.