#群論入門_置換群編 51 #対称群 が #結合法則 を満たす事の証明 Prove that symmetric groups are associative math.stackexchange.com/questions/7798… this is just the associativity of function composition n次の3つの #置換 の積などを 頑張って計算する必要は無く #写像 の #合成 の性質から従う.

#群論入門_置換群編 46 Q. #置換 の集合が #群 をなす事を示せ A. 置換どうしを #合成 すると サイズの同じ置換が生み出され 置換どうしの積という #二項演算 は #閉じている. 置換は #写像 なので #結合法則 を満たす. #恒等置換 は #単位元. #逆置換 は #逆元. ∴群の #公理 を満たす.

#群論入門_置換群編 42 Q. #置換 の積が #結合法則 を満たすのはなぜか. A. 置換は #写像 なので 写像の #合成 は結合法則を満たすから. よって，3つの置換 a, b, c に対し 常に (ab)c ＝ a(bc) であり，括弧は不要.

#群論入門_置換群編 41 Q. ① #代数的構造 の #二項演算 の #結合法則. ② #写像 の #合成 の結合法則. この2つを混同・混乱してしまう理由は何だろうか A. ①②で， 全く異なる対象の 異なる数式に対し 同じ「結合法則」という名前で呼んでいるのが 混乱のもと. 区別すべし.

#群論入門_置換群編 40 Q. ① #代数的構造 の #二項演算 の #結合法則 ② #写像 の #合成 の結合法則 ①は一般に成り立たないが， ②は常に成り立つ. この違いの生まれる理由わかった? A. ①は，2変数関数の引数どうしに成り立つ特別な関係. ②は，1変数関数の引数の 単なる入れ子.

#群論入門_置換群編 39 Q. ① #代数的構造 の #二項演算 の #結合法則 ② #写像 の #合成 の結合法則 ①と②の 数式での表現を比較せよ. A. ① (a(bc)) ＝ ((ab)c) f( a, f(b,c) ) ＝ f( f(a,b), c ) fは2変数関数. ② (h∘g)∘f ＝ h∘(g∘f) ＝ h(g(f(X))) f,g,hは1変数関数.

#群論入門_置換群編 38 Q. #代数的構造 Sの 3元a,b,cに対し， #二項演算 の #結合法則 (a(bc))＝((ab)c) が成り立つとはどういう事か， Sの2元を引数に取る2変数関数 f( x, y ) を使って書き直せ. A. 結合法則 (a(bc))＝((ab)c) は f( a, f( b, c ) ) ＝ f( f( a, b ), c ) と書ける.

#群論入門_置換群編 37 #群 ではない一般の #二項演算 では #結合法則 を仮定できない. (a(bc)) ≠ ((ab)c) ※そのような #代数的構造 の例 ・ #マグマ ・ #準群 ・ #擬群 一方，#写像 の #合成 では 常に結合法則が成り立ち便利. (f(gh)＝((fg)h) なぜ，このような違いが生まれるのか?

#群論入門_置換群編 36 Q. #写像 の #合成 が #結合法則 を満たす事を示せ A. f:W→X g:X→Y h:Y→Z ((h∘g)∘f)(W) ① (h∘g)(X)＝h(g(X))より ①＝(h∘g)(f(W))＝h(g(f(W))) (h∘(g∘f ))(W) ② (g∘f)(W)＝g(f(W))より ②＝h((g∘f)(W))＝h(g(f(W))) ∴①＝② (h∘g)∘f＝h∘(g∘f)

#群論入門_中心化群と類等式編 13 Q. #群 G の #中心 Z(G) は Gの #部分群 である事を示せ A. 前ツイまでの議論より Z(G)の #二項演算 は #閉じている. Z(G)の二項演算は #結合法則 を満たし #単位元 と #逆元 が存在. よってZ(G)は群の #公理 を満たし Gの部分集合だから Z(G)はGの部分群.

#群論入門_中心化群と類等式編 11 Q. #群 Gの #中心 Z(G) に関し その #二項演算 が #結合法則 を満たす事を示せ A. 群の定義より Gの二項演算は結合法則を満たす. Z(G) 内の二項演算はGの二項演算に等しく， Z(G)はGの部分集合だから Z(G)内の任意の2元の二項演算は 結合法則を満たす.

#群論入門_中心化群と類等式編 10 Q. #群 Gの #中心 Z(G)={z∈G|zg=gz(∀g∈G)}の #二項演算 が #閉じている 事を示せ A. Z(G)の任意の2元x,y Gの任意の元g xy=Mとおく. G内の #結合法則 より Mz=(xy)g=x(yg) Z(G)の元はGの元と可換で =x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)=gMでg,Mは可換 ∴M=xy∈Z(G)

#巡回群とは 59 Q. #群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m} の #べき積 の全体は 群をなす事を示せ A. べき積同士の積はべき積で #二項演算 が #閉じている. どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK. #単位元 は(a_1)^0=e. 積の逆元の計算より べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積. ∴群の #公理 を満たす

#代数系の初歩 26 Q. #擬群 とは. A. #準群 に #単位元 e の存在を課したもの. 除法と単位元の存在より， 任意の元が #逆元 を持つことになる. #擬群(loop) en.wikipedia.org/wiki/Quasigrou… ・別名「ループ」. ・ #結合法則 は課されない.

#代数系の初歩 24 Q. #準群 と #群 を比較せよ. A. 共通した性質: ・閉じた #二項演算 が定義されている.(マグマ) 群の場合: ・ #単位元 と #逆元 が存在し，#結合法則 を満たす. 準群の場合: ・単位元や結合法則は要請されない. ・逆元のかわりに「除法」が定義される.

#代数系の初歩 21 Q. マグマに #結合法則 を課さないまま #逆元 や #単位元 の存在を課したら どうなるか A. #二項演算 が #閉じている 集合: #マグマ ↓ マグマに「除法」演算の存在を課す: #準群 ↓ 準群に単位元の存在を課す: #擬群 ↓ 擬群に結合法則を課す: #群

#代数系の初歩 17 Q. マグマから アーベル群までの5段階で 1つずつ条件を増やせ A. 　　#マグマ: 閉 　　　#半群: 閉 結 　#モノイド: 閉 結 単 　　　　#群: 閉 結 単 逆 #アーベル群: 閉 結 単 逆 換　 閉 #二項演算 が #閉じている 結 #結合法則 単 #単位元 逆 #逆元 換 #交換法則

#代数系の初歩 16 Q. マグマ 半群 モノイド 群 を順に定義 A. 集合が #内算法 を持てば #マグマ マグマに #結合法則 を課すと #半群(演算が結合的なマグマ.結合マグマ) 半群に #単位元 の存在を課すと #モノイド(単位的半群.単位的結合マグマ) モノイドに #逆元 の存在を課すと #群

#代数系の初歩 15 Q. 「半群」の定義が どうしても記憶できない A. 1.#二項演算 が #閉じている 2.#結合法則 3.#単位元 4.#逆元 #群 はこの4条件を満たすが #半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。 群の「半分」の条件しか満たさないので "半群" なのです… と記憶できるかも?

#代数系の初歩 14 #モノイド(monoid) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2… ・単系(たんけい)とも呼ぶ. ・1つの #二項演算 と #単位元 をもつ #代数的構造 であり， #結合法則 を満たす. ・モノイドは 「単位元をもつ #半群」(＝「単位的半群」) なので，#半群論 の研究対象.

#代数系の初歩 12 #結合法則(associative law) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%90… 結合性(associative property, associativity): 結合律，結合則. 一部の #二項演算 が持つ性質. 被演算子の並びが変わらない限り 全体の演算結果に影響を与えない. #群，#モノイド，#半群 の公理の一つ.

#代数系の初歩 11 Q. #半群，#モノイド とは. A. #群 の #公理 のうち #結合法則 を満たすものが半群. #単位元 や #逆元 の存在は要請しない. 群の公理のうち 結合法則と， 単位元の存在を満たすものがモノイド. 逆元の存在は要請しない.

#代数系の初歩 9 Q. #代数学 において #マグマ とは. A. ある集合Mにおいて 「#閉じている 二項演算」(#内算法) が定義されていれば， Mをマグマと呼ぶ. (※ #ブルバキ が導入した呼び名) その #二項演算 は #結合法則 を満たす必要はなく， #単位元 や #逆元 の存在も要請されない.

#群論の初歩 90 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群) 全部思い出せますかな

#群論の初歩 85 英語名称のおさらい #群 group #公理 axiom #単位元 identity element #逆元 inverse element #結合法則 associative law #結合律 associative property, associativity #アーベル群 abelian group #可換群 commutative group

#群論の初歩 62 Q. #群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが 1)∀a,b∈H⇒ab∈H 2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H の時 Hが群である事を示せ. A. 1)よりHの二項演算は #閉じている. Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす. 2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在. ∴Hは群の3公理を満たす

#群論の初歩 52 Q. 3つの集合 GL( n, ℚ ) GL( n, ℝ ) GL( n, ℂ ) について，おのおの #群 を構成せよ A. 各々，#行列 の積について群である. 各々は積演算について閉じており 積演算が #結合法則 を満たす. #単位元 は #単位行列 であり #逆元 は #逆行列 である.

#群論の初歩 46 Q. n 次 #正方行列 全体の集合 M から #群 を構成せよ. A. 演算として #行列 の和(加法)を考えれば #単位元 はO(n次の正方零行列). 行列Aの #逆元 は－A. 演算が閉じており #結合法則 を満たすので群. #交換法則 も成立するので #アーベル群. 加法の群なので #加法群.

#群論の初歩 40 Q. #加法群 の満たす4公理 A. 加法の定義された集合Gで 1 #結合法則 任意の3元につき (a+b)+c＝a+(b+c) 2 #零元 の存在 任意の元xにつき x+0＝0+x＝x なる0が存在 3 #逆元 の存在 各元aにつき a+(-a)＝(-a)+a＝0 なる-aが存在 4 #交換法則 任意の2元につき a+b＝b+a

#群論の初歩 37 Q. 0を除く有理数の集合 ℚ^* から #アーベル群 G を構成せよ A. 演算として乗法(掛け算)を用いる. #単位元 として 1 を用いる. 元 x の #逆元 は 1/x . 演算の #結合法則 単位元の存在 逆元の存在 を満たすのでGは #群. また #交換法則 を満たすので Gはアーベル群.

#群論の初歩 35 Q. #アーベル群 とは A. #群 Gは ・ #結合法則 ・ #単位元 の存在 ・ #逆元 の存在 という群の3公理を満たすが それに加え4つ目の条件として ・ #交換法則 を満たす場合， Gを「アーベル群(#可換群)」と呼ぶ.

#群論の初歩 34 Q. ベクトルの #外積 は #結合法則 を満たすか？ A. #ヤコビの恒等式 より ↑A×(↑B×↑C) + ↑B×(↑C×A) + ↑C×(↑A×↑B) = 0 ∴ ↑A×(↑B×↑C) ① = -↑C×(↑A×↑B) -↑B×(↑C×A) = (↑A×↑B)×↑C ② + (↑C×A)×↑B ③ ③の項が余分なので， 「①=②」は成り立たない。

#群論の初歩 32 Q. #交換法則 を満たさないが #結合法則 を満たすような #二項演算 の例として 行列の積がある. では逆に 交換法則を満たすが 結合法則を満たさない二項演算の例は? A. 二項演算を a⊕b ＝ |a－b| と定めれば |a－b| ＝ |b－a| かつ 一般に||a－b|－c| ≠ |a－|b－c||

#群論の初歩 31 Q. 下記の #二項演算 は #交換法則 と #結合法則 を満たすか? (1)実数の乗法 (2)実数の減法 (3)実数のべき乗 (4)#行列 の積 A. (1) 交換法則も結合法則も満たす (2)(3) 交換法則も結合法則も満たさない (4) 交換法則を満たさないが結合法則を満たす

#群論の初歩 30 Q. #結合法則 と #交換法則 って ある面，似ている? A. 全く別物だが 日本語で説明しようとすると じゃっかん似ている部分も… ・結合法則: 「演算 "の結合" の順序」を入れ換え可能. ((ab)c)＝(a(bc)) ・交換法則: 「演算 "の対象" の順序」を入れ換え可能. ab＝ba

#群論の初歩 28 Q. T＝{ x＋y√3 | x,y∈ℚ } S＝T－{0} Sが積演算について #群 をなすことを示せ. A. Sの2元の積は (a+b√3)(c+d√3)＝(ac+3bd)+(ad+bc)√3∈S より #二項演算 が #閉じている. #結合法則 も満たす. #単位元 は1. a+b√3の #逆元 は 1/(a+b√3)＝(a－b√3)/(a^2－3b^2)∈S

#群論の初歩 27 Q. 1次元トーラスから #群 を構成せよ. A. 1次元トーラスとは 複素数全体ℂに対し T＝{z∈ℂ | |z|＝1} を指す. Tの元は 乗法について閉じており #結合法則 を満たす. #単位元 は z＝1. 元 z＝e^(iθ) の #逆元 は z'＝e^(-iθ). よってTは乗法に関し群になる.

#群論の初歩 7 Q. 実数のべき乗操作が #結合法則 を満たさない事を示せ. A. #二項演算 a⊕b ＝ a^b と定義すると (a⊕b)⊕c＝(a^b)^c …① a⊕(b⊕c)＝a^(b^c) …② 一般に①≠②より， 結合法則が成り立たない. 例: (2^3)^4＝8^4＝2^12 2^(3^4)＝2^81 より値が異なる.

#群論の初歩 6 Q. 実数の減法(引き算)の操作が #結合法則 を満たさない事を示せ. A. #二項演算 a⊕b＝a－b と定義すると (a⊕b)⊕c＝(a－b)－c＝a－b－c …① a⊕(b⊕c)＝a－(b－c)＝a－b＋c …② c≠0のとき①≠②となり (a⊕b)⊕c ≠ a⊕(b⊕c) で 一般に結合法則が成り立たない.

#群論の初歩 5 Q. ある #代数的構造 に #結合法則 が課されていると 何が嬉しいのか A. 演算の「結合順序」を 気にしなくて済むおかげで， 3個以上の元の積を書く時 煩わしい括弧を省略でき楽. (ab)c ＝ a(bc) で どちらも同じ値で区別不要のため 括弧を外し単に abc と書けばよい.