#解析力学_Hamilton形式編 64 整理: ▶#古典力学 の #ポアソン括弧 の式 {x,p}=1 は，#量子力学 で [x̂,p̂]=iℏ なる #交換子 の式に対応. ▶古典力学の物理量の時間発展 dX/dt = ∂X/∂t＋{X,H} は，量子力学では iℏ dÂ/dt = [Â,Ĥ] なる #ハイゼンベルクの運動方程式 に対応.

#解析力学_Hamilton形式編 62 #ハミルトニアン との #ポアソン括弧 で書いた， 任意の物理量の時間発展: dX/dt＝∂X/∂t＋{X,H} ポアソン括弧で書いた #正準方程式: ṗ_i＝{p_i,H} q̇_i＝{q_i,H} #交換子 で書いた，#量子力学 の #ハイゼンベルクの運動方程式: iℏ dÂ/dt＝[Â,Ĥ]

#解析力学_Hamilton形式編 60 「#解析力学 と #交換子」 (数理科学・2011年6月号，十河) kitasato-u.ac.jp/sci/resea/butu… p4より引用 『#ポアソン括弧 を用いると， #力学 の問題を #微分積分 から解放し #代数 の問題に帰着させることができるのである。』

#解析力学_Hamilton形式編 57 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4… #ヤコビの恒等式 をみたす様々な例: ･3次元 #ベクトル の #外積 ･#リー環 における積演算 ･#解析力学 の #ポアソン括弧 ･#量子力学 の #交換子

#解析力学_Hamilton形式編 64 整理: ▶#古典力学 の #ポアソン括弧 の式 {x,p}=1 は，#量子力学 で [x̂,p̂]=iℏ なる #交換子 の式に対応. ▶古典力学の物理量の時間発展 dX/dt = ∂X/∂t＋{X,H} は，量子力学では iℏ dÂ/dt = [Â,Ĥ] なる #ハイゼンベルクの運動方程式 に対応.

#解析力学_Hamilton形式編 62 #ハミルトニアン との #ポアソン括弧 で書いた， 任意の物理量の時間発展: dX/dt＝∂X/∂t＋{X,H} ポアソン括弧で書いた #正準方程式: ṗ_i＝{p_i,H} q̇_i＝{q_i,H} #交換子 で書いた，#量子力学 の #ハイゼンベルクの運動方程式: iℏ dÂ/dt＝[Â,Ĥ]

#解析力学_Hamilton形式編 60 「#解析力学 と #交換子」 (数理科学・2011年6月号，十河) kitasato-u.ac.jp/sci/resea/butu… p4より引用 『#ポアソン括弧 を用いると， #力学 の問題を #微分積分 から解放し #代数 の問題に帰着させることができるのである。』

#解析力学_Hamilton形式編 57 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4… #ヤコビの恒等式 をみたす様々な例: ･3次元 #ベクトル の #外積 ･#リー環 における積演算 ･#解析力学 の #ポアソン括弧 ･#量子力学 の #交換子

#群論入門_中心化群と類等式編 23 Q. #中心 Z(G)の大きさは #群 Gで #交換法則 が【成り立つ】度合い. #交換子群 D(G)の大きさは 群Gで交換法則が【成り立たない】度合い. ↑ D(G)の定義を忘れた A. D(G)=[ G, G ]=‹ [g1,g2] | g1,g2∈G › 自分自身との #交換子 の全体が #生成 する群.

#群論入門_正規部分群編 67 ↑ このハッシュタグの復習： ・ #共役変換(#内部自己同型写像) ・ #正規部分群 の定義 ・ #自明な正規部分群 と #単純群 ・ #正規列 と #組成列 ・ #交換子 と #交換子群 ・ #交換子群列 と #可解群 全部思い出せますかな

#群論入門_正規部分群編 64 英語名称のおさらい・続 #正規列(正規鎖) subnormal series #組成列 composition series #主組成列 normal series #交換子 commutator #交換子群 commutator group #交換子部分群 commutator subgroup #導来群 derived group #導来部分群 derived subgroup

#群論入門_正規部分群編 49 短歌にしてみよう. 　交換子　共役変換　した後も 　そのままずっと　交換子だよ #交換子 は もとの #群 Gの元で #共役変換 しても 交換子のまま. ゆえに，#交換子群 H は もとの群Gの元による共役変換に対し #閉じている ので Gの #正規部分群 となる.

#群論入門_正規部分群編 48 ①#群 Gの2つの元a,bの #交換子 [a,b]=a^{-1}b^{-1}ab ②群Gの #部分群 A,Bの #交換子群(#交換子部分群) [A,B]=‹ [a,b] | a∈A, b∈B › ⊂ G ③群Gの 交換子群(交換子部分群)， #導来群(#導来部分群) D(G)=[ G, G ] = ‹ [ g_1, g_2 ] | g_1, g_2∈G › ◅ G

#群論入門_正規部分群編 45 Q. #群 G のある元a, b, tについて t^{-1} [ a, b ] t ＝[ t^{-1}at, t^{-1}bt ] ↑ どういう意味? A. 「#交換子 の #共役元 は 共役元の交換子である」. t^{-1}とtではさむ #共役変換 が 交換子の記号の内側に入り込み 2元a,bにそれぞれはたらくように見える.

#群論入門_正規部分群編 44 Q. #群 Gのある元a,b,tについて t^{-1} [ a, b ] t を #交換子 で表せ. A. =t^{-1} (a^{-1} b^{-1} a b) t =(t^{-1}a^{-1}t)･(t^{-1}b^{-1}t)･(t^{-1}at)･(t^{-1}bt) =(t^{-1}at)^{-1}･(t^{-1}bt)^{-1}･(t^{-1}at)･(t^{-1}bt) =[ t^{-1}at, t^{-1}bt ]

#群論入門_正規部分群編 42 #交換子(commutator) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4… ・数学における交換子は 「#二項演算 がどの程度 #可換 性(#交換法則)からかけ離れているか？」 を測る指標の役割を果たす. ・「交換子全体の成す集合」は #群 にならない. かわりに，#生成 される部分群を考える.

#群論入門_正規部分群編 41 Q. 定義を比較 ①#群 Gの2つの元a,bの #交換子 ②群Gの #部分群 A,Bの #交換子群(#交換子部分群) A. ① [a,b] =a^{-1}b^{-1}ab ② [A,B] =‹ [a,b] | a∈A, b∈B › ★ =‹ a^{-1}b^{-1}ab | a∈A, b∈B › 全ての交換子の組合わせの集合が #生成 する群.

#群論入門_正規部分群編 40 Q. #群 Gの #部分群 A, Bについて 「AとBとの #交換子群」とは. A. Aの元aと Bの元bとの #交換子 [ a, b ] の 全体がなす集合Sについて， Sが #生成 する(#生成系 となる)ような G の部分群 ‹ [ a, b ] | a∈A, b∈B › のこと. [ A, B ] と表記する.

#群論入門_正規部分群編 39 2つの #交換子 の積が 交換子とならない 最小位数の #有限群 は #位数 96. その証明論文: Commutators and Commutator Subgroups ROBERT M. GURALNICK (1982) core.ac.uk/download/pdf/8… "Here it is shown that the smallest groups G ... are of order 96. "

#群論入門_正規部分群編 38 Q. #群 の「交換子と交換子の積が 一般に #交換子 になるとは限らない」 の証明は A. On commutators in groups researchgate.net/publication/25… "the set of commutators does not necessarily form a subgroup" (交換子全体の集合は #部分群 をなすとは限らない)

#群論入門_正規部分群編 37 交換子全体の集合が 積(#二項演算)について閉じていない件 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4… 引用： 「#交換子 2つ以上の積は 必ずしも交換子とは限らない. 2つの交換子の積が交換子とならない 最小 #位数 の #有限群 は， 位数 96 であることが知られている.」

#群論入門_正規部分群編 36 Q. ある #群 Gの #交換子 全体がなす集合は Gの #部分群 か？ A. 一般に 交換子と交換子の積は 交換子になるとは限らない. つまり 「交換子全体がなす集合」は 群の #二項演算 について閉じていない. よって 「交換子全体がなす集合」は 一般に群ではない.

#群論入門_正規部分群編 35 #可換 なら ab＝ba ↓ 左からa^{-1}b^{-1}をかける ↓ a^{-1}b^{-1}ab＝e 左辺は #交換子. ↓ もし右辺にe以外のものがあったら？ a^{-1}b^{-1}ab＝e, p, q, r, … ↓ 左からbaをかける ab＝ba, bap, baq, bar, … ↓ ab＝baが成り立たない例が生まれる！→非可換

#群論入門_正規部分群編 34 Q. (1) #群 G内の #交換子 が #単位元 eのみ. (2) Gが #アーベル群. (1)⇔(2)を示せ A. (1)の時 Gの任意の2元a,bに対し [a,b]＝a^{-1}b^{-1}ab＝e →ab＝ba となりGはアーベル群. 逆に(2)の時 Gの任意の2元a,bに対し ab＝ba →a^{-1}b^{-1}ab＝e ∴[a,b]＝e

#群論入門_正規部分群編 33 Q. #群 Gの2元x,yについて [x, y] ∈ G の #逆元 をG内で求め #交換子 で表せ A. ([x, y])^{-1} =(x^{-1}･y^{-1}･x･y)^{-1} 複数元の積の逆元は 各元の逆元の逆順の積なので =y^{-1}･x^{-1}･(y^{-1})^{-1}･(x^{-1})^{-1} =y^{-1}･x^{-1}･y･x =[y, x]

#群論入門_正規部分群編 32 Q. #群 G の #単位元 e について e が常に #交換子 であることを示せ. A. 交換子を計算する際の引数として 2つとも e をとれば， [ e, e ] ＝ e^{-1} e^{-1} e e ＝ e e e e ＝ e よって e ＝ [ e, e ] なので，単位元は 交換子としての表記が可能である.

#群論入門_正規部分群編 31 Q. #群 Gの2つの元a,bの #交換子 とは… 1) 定義 2) 何に役立つか A. 1) 演算結果 a^{-1} b^{-1} a b ∈ G のこと. [a, b] と書く. 2) [a, b] = e (#単位元) である事と a,bが #可換 である事は同値. a^{-1} b^{-1} a b＝e ⇔ ab＝ba 2元に #交換法則 が成立.

#群論入門_正規部分群編 1 ↑ このタグでは #部分群，#生成系 の定義を理解した人向けに 下記の事項を解説しますぞ！ ・ #共役変換(#内部自己同型写像) ・ #正規部分群 の定義 ・ #自明な正規部分群 と #単純群 ・ #正規列 と #組成列 ・ #交換子 と #交換子群 ・ #交換子群列 と #可解群