#群論入門_正規部分群編 53 Q. #群 Gの #交換子群 D(G)を G内の 「#交換法則 の成り立たない度合い (非可換性の強さ)」と解釈する場合 #交換子群列 G⊳D_1(G)⊳D_2(G)⊳… の意味は A. Gの非可換性の強さがD_1(G). D_1(G)の非可換性の強さがD_2(G). D_i(G)の非可換性の強さがD_{i+1}(G). …

#群論入門_正規部分群編 50 Q. #群 Gの #交換子群 D(G) という集合の大きさの意味 A. Gが #アーベル群 ならD(G)＝{e}. D(G)が #単位元 e以外の元も持つ時 Gの #部分群(部分集合)であるD(G)の大きさは 「群G内で #交換法則 の成り立たない度合い (非可換性の強さ)」を表す と解釈できる.

#群論入門_正規部分群編 42 #交換子(commutator) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4… ・数学における交換子は 「#二項演算 がどの程度 #可換 性(#交換法則)からかけ離れているか？」 を測る指標の役割を果たす. ・「交換子全体の成す集合」は #群 にならない. かわりに，#生成 される部分群を考える.

#群論入門_正規部分群編 31 Q. #群 Gの2つの元a,bの #交換子 とは… 1) 定義 2) 何に役立つか A. 1) 演算結果 a^{-1} b^{-1} a b ∈ G のこと. [a, b] と書く. 2) [a, b] = e (#単位元) である事と a,bが #可換 である事は同値. a^{-1} b^{-1} a b＝e ⇔ ab＝ba 2元に #交換法則 が成立.

#群論入門_正規部分群編 17 Q. #アーベル群 Gの #部分群 Nは， Gの #正規部分群 でもある事を示せ A. Nの元nの Gの元gによる #共役変換 は f(n) =g^{-1} n g GとNは #二項演算 が共通で nはGの元でもあり G内とN内で #交換法則 が成立するので =g^{-1} g n =n ∈N ∴NはGの正規部分群.

#群論入門_正規部分群編 10 Q. #群 Gが #アーベル群 なら G内の #共役変換 は どんな意味を持つか. A. Gの2要素x, aに対し x の共役変換は f(x) ＝ a^{-1} x a G内の任意の2元に #交換法則 が成り立つので ＝ a^{-1} a x ＝ x つまり，可換群では 任意の共役変換は #恒等変換.

#巡回群とは 6 Q. #巡回群 は #アーベル群 である事を示せ. A. #群 Gが aを #生成元 とする巡回群 ‹ a › ならば Gの任意の2元x,yは x＝a^m y＝a^n という #べき の形である.(m,n∈ℤ) xy＝(a^m)(a^n)＝a^{m+n} yx＝(a^n)(a^m)＝a^{n+m}＝a^{m+n}＝xy なので，#交換法則 が成り立つ.

#代数系の初歩 17 Q. マグマから アーベル群までの5段階で 1つずつ条件を増やせ A. 　　#マグマ: 閉 　　　#半群: 閉 結 　#モノイド: 閉 結 単 　　　　#群: 閉 結 単 逆 #アーベル群: 閉 結 単 逆 換　 閉 #二項演算 が #閉じている 結 #結合法則 単 #単位元 逆 #逆元 換 #交換法則

#群論の初歩 90 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群) 全部思い出せますかな

「２つのかけ算、２つの可換性」（2018/11/13 19:12） x.com/flute23432/sta… #掛算 #超算数 #算数 #算数教育 #かけ算 #かけ算の順序 #交換法則 #可換性 #アレイ図 #同数グループ

#群論の初歩 46 Q. n 次 #正方行列 全体の集合 M から #群 を構成せよ. A. 演算として #行列 の和(加法)を考えれば #単位元 はO(n次の正方零行列). 行列Aの #逆元 は－A. 演算が閉じており #結合法則 を満たすので群. #交換法則 も成立するので #アーベル群. 加法の群なので #加法群.

#群論の初歩 40 Q. #加法群 の満たす4公理 A. 加法の定義された集合Gで 1 #結合法則 任意の3元につき (a+b)+c＝a+(b+c) 2 #零元 の存在 任意の元xにつき x+0＝0+x＝x なる0が存在 3 #逆元 の存在 各元aにつき a+(-a)＝(-a)+a＝0 なる-aが存在 4 #交換法則 任意の2元につき a+b＝b+a

#群論の初歩 38 Q. #群 Gの任意の元 x に対し x^2 = e ならば， Gは #アーベル群 である事を示せ. A. x^2 = e 両辺に右から x^{-1} をかけて x (x x^{-1}) = x^{-1} x＝x^{-1} よって，Gの任意の2元に対し ab ＝(ab) ＝(ab)^(-1) ＝b^(-1) a^(-1) ＝ba #交換法則 が成り立ちアーベル群.

#群論の初歩 37 Q. 0を除く有理数の集合 ℚ^* から #アーベル群 G を構成せよ A. 演算として乗法(掛け算)を用いる. #単位元 として 1 を用いる. 元 x の #逆元 は 1/x . 演算の #結合法則 単位元の存在 逆元の存在 を満たすのでGは #群. また #交換法則 を満たすので Gはアーベル群.

#群論の初歩 35 Q. #アーベル群 とは A. #群 Gは ・ #結合法則 ・ #単位元 の存在 ・ #逆元 の存在 という群の3公理を満たすが それに加え4つ目の条件として ・ #交換法則 を満たす場合， Gを「アーベル群(#可換群)」と呼ぶ.

#群論の初歩 33 Q. 2つのベクトルに対する #二項演算 として #内積 および #外積 を考える時， 各々 #交換法則 を満たすか? A. 内積の場合， ↑A・↑B = ↑B・↑A より交換法則が成り立つ. 外積の場合， #歪対称性(反交換則)より ↑A×↑B = －↑B×↑A となるので交換法則は成り立たない.

#群論の初歩 32 Q. #交換法則 を満たさないが #結合法則 を満たすような #二項演算 の例として 行列の積がある. では逆に 交換法則を満たすが 結合法則を満たさない二項演算の例は? A. 二項演算を a⊕b ＝ |a－b| と定めれば |a－b| ＝ |b－a| かつ 一般に||a－b|－c| ≠ |a－|b－c||

#群論の初歩 31 Q. 下記の #二項演算 は #交換法則 と #結合法則 を満たすか? (1)実数の乗法 (2)実数の減法 (3)実数のべき乗 (4)#行列 の積 A. (1) 交換法則も結合法則も満たす (2)(3) 交換法則も結合法則も満たさない (4) 交換法則を満たさないが結合法則を満たす

#群論の初歩 30 Q. #結合法則 と #交換法則 って ある面，似ている? A. 全く別物だが 日本語で説明しようとすると じゃっかん似ている部分も… ・結合法則: 「演算 "の結合" の順序」を入れ換え可能. ((ab)c)＝(a(bc)) ・交換法則: 「演算 "の対象" の順序」を入れ換え可能. ab＝ba

#群論の初歩 29 Q. #二項演算 の #交換法則 とは A. 集合Gの任意の2元a, bについて ab ＝ ba が成り立つ時， 交換法則を満たすという. 2元が交換可能という事は 帰納的に，任意のn元も 順序を交換可能. 掛け算や足し算のように 演算の順序を入れ替えても 結果は変わらないということ.

#群論の初歩 1 ↑ このタグでは #群論 に独学で入門するため 下記を学びますぞ！ ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

flute23432「店内ルールとしての掛け算の順序」（2019年3月18日） flute23432.blogspot.com/2019/03/blog-p… ゲームセンター内で通用するローカルルールとしてのかけ算の順序 #掛算 #超算数 #算数 #算数教育 #かけ算 #かけ算の順序 #交換法則

#環論の初歩 12 #可換環 (commutative ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF… ・乗法が可換であるような #環 ・可換環の研究は #可換環論，#可換代数学 と呼ばれる ・環Rは加法に関しアーベル群，乗法に関しモノイド. 乗法は加法に対し分配的. さらに乗法が可換律(#交換法則)を満たせばRは可換

#環論の初歩 11 Q. #可換環 とは A. #環 の3 #公理 に加え 下記の性質を満たすものをいう. ④ 積の #交換法則 a・b ＝ b・a なお，環は 加法については #アーベル群 なので 加法は常に交換法則を満たす.

「１本85円の鉛筆を144本と，１冊144円のノートを15冊買います。合計はいくらでしょう？」（すど氏 2017/08/02 20:31） #掛算 #超算数 #算数 #算数教育 #かけ算 #かけ算の順序 #計算の工夫 #交換法則