#解析力学_Hamilton形式編 64 整理: ▶#古典力学 の #ポアソン括弧 の式 {x,p}=1 は，#量子力学 で [x̂,p̂]=iℏ なる #交換子 の式に対応. ▶古典力学の物理量の時間発展 dX/dt = ∂X/∂t＋{X,H} は，量子力学では iℏ dÂ/dt = [Â,Ĥ] なる #ハイゼンベルクの運動方程式 に対応.

#解析力学_Hamilton形式編 63 #ハイゼンベルクの運動方程式 (Heisenberg equation of motion) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F… ･#量子力学 を #ハイゼンベルク描像 により記述. ･「この方程式は，#ハミルトン力学 で 物理量の時間発展をあらわす式 (#ポアソン括弧 を使ったもの)に類似.」

#解析力学_Hamilton形式編 62 #ハミルトニアン との #ポアソン括弧 で書いた， 任意の物理量の時間発展: dX/dt＝∂X/∂t＋{X,H} ポアソン括弧で書いた #正準方程式: ṗ_i＝{p_i,H} q̇_i＝{q_i,H} #交換子 で書いた，#量子力学 の #ハイゼンベルクの運動方程式: iℏ dÂ/dt＝[Â,Ĥ]

#解析力学_Hamilton形式編 61 kitasato-u.ac.jp/sci/resea/butu… p5より #ハイゼンベルグ の量子力学(#行列力学)では [x̂,p̂]＝x̂ p̂－p̂ x̂＝iℏ なる #交換関係 が重要. #ディラック は上記と {x,p}＝1 (※左辺は #ポアソン括弧) との類似に気づき， [Â,B̂]＝iℏ{A,B} を想定した.

#解析力学_Hamilton形式編 60 「#解析力学 と #交換子」 (数理科学・2011年6月号，十河) kitasato-u.ac.jp/sci/resea/butu… p4より引用 『#ポアソン括弧 を用いると， #力学 の問題を #微分積分 から解放し #代数 の問題に帰着させることができるのである。』

#解析力学_Hamilton形式編 59 ①#歪対称性 ②#分配則(#ライプニッツ則) ③#ヤコビの恒等式 上記3つの性質を #公理 に持つ #代数系 は #ポアソン括弧 以外にも作れる. 例えば #軌道角運動量 ベクトルが満たす 「#角運動量 の代数」が挙げられ， #リー代数 の最も簡単な例となっている.

#解析力学_Hamilton形式編 58 ①#歪対称性(反交換則) {B,A}=－{A,B} ②#分配則(#ライプニッツ則) {AB,C}={A,C}B＋A{B,C} ③#ヤコビの恒等式 {A,{B,C}} + {B,{C,A}} + {C,{A,B}} = 0 #ポアソン括弧 は上記3つの性質を満たす という事になる.

#解析力学_Hamilton形式編 57 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4… #ヤコビの恒等式 をみたす様々な例: ･3次元 #ベクトル の #外積 ･#リー環 における積演算 ･#解析力学 の #ポアソン括弧 ･#量子力学 の #交換子

#解析力学_Hamilton形式編 56 #ヤコビ恒等式 (Jacobi identity，#ヤコビの恒等式) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4… 19世紀のドイツの数学者 カール･グスタフ･ヤコブ･#ヤコビ による. (※4人ではなく，これで1人の名前) この人は ヤコビの #楕円函数論 や #ヤコビアン で有名.

#解析力学_Hamilton形式編 55 Q. #ポアソン括弧 が満たす #ヤコビの恒等式 ↑ わけ分からん A. 移項して，こう考える事もできる. { A, { B, C } } = －{ B, { C, A } } －{ C, { A, B } } 「ポアソン括弧の入れ子1つ(左辺)は 順序をずらした別の入れ子2つ(右辺)で表せる」

#解析力学_Hamilton形式編 54 Q. #ポアソン括弧 が満たす #ヤコビの恒等式(#ヤコビ恒等式)とは A. 下記の性質. { { A, B }, C } + { { C, A }, B } + { { B, C }, A } ＝ 0 #歪対称性 で変形すると { C, { A, B } } + { B, { C, A } } + { A, { B, C } } = 0

#解析力学_Hamilton形式編 53 Q. #ポアソン括弧 の #ライプニッツ則 ①{ A, BC }＝{A,B} C＋B {A,C} ②{ AB, C }＝{A,C} B＋A {B,C} ↑ なぜ #分配則 と呼ぶ? A. ①は， 左辺でBとCがひと固まりなのを 右辺で離れ離れに「分解」(分配)している. ②もABを分解している.

#解析力学_Hamilton形式編 52 Q. #ポアソン括弧 が満たす #ライプニッツ則(Leibniz rule)とは A. 下記の性質がある. { A, BC } = { A, B } C + B { A, C } { AB, C } = { A, C } B + A { B, C } #ライプニッツ・ルール， #積の微分， #分配則 などと呼ぶ.

#解析力学_Hamilton形式編 51 Anticommutative property (#反可換 の性質) en.wikipedia.org/wiki/Anticommu… f( x, y ) ＝ － f( y, x ) 数物系の文脈で， #対称性(symmetry)が関心事である時 上記の性質をantisymmetric(#反対称的)ともいう.

#解析力学_Hamilton形式編 50 #ポアソン括弧 の「#歪対称性」 {B,A}=－{A,B} この性質は呼び名が幾つかある. symmetric #対称 な ⇔ ★skew-symmetric #歪対称 の ★antisymmetric #反対称 の，#逆対称 の commutative #可換 な，#交換可能 な ⇔ ★anticommutative #反可換 な

#解析力学 タグ一覧 ①#解析力学_Lagrange形式編 最小作用の原理 オイラー・ラグランジュ方程式 ②#解析力学_Hamilton形式編 ハミルトンの正準方程式 ポアソン括弧 ③#解析力学_保存量と対称性編 第一積分(保存量) ネーターの定理 リウヴィルの定理 ④ほか #解析力学の知識

#解析力学_Hamilton形式編 49 Q. #ポアソン括弧 の #歪対称性(わいたいしょうせい)を示せ. つまり{B,A}を{A,B}で表せ A. {B,A}＝－{A,B} ※skew-symmetric 証明 {B, A} ＝Σ_i ( ∂B/∂q_i・∂A/p_i－∂A/∂q_i・∂B/p_i) ＝－Σ_i ( ∂A/∂q_i・∂B/p_i－∂B/∂q_i・∂A/p_i) ＝－{A, B}

#解析力学_Hamilton形式編 48 #ポアソン括弧 の基礎を整理: 定義 { f, g } ＝ Σ_i ( ∂f/∂q_i・∂g/∂p_i － ∂g/∂q_i・∂f/∂p_i ) #ハミルトンの正準方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p を書き直すと {p_i, H}＝－∂H/∂q_i {q_i, H}＝　∂H/∂p_iなので ∴ ṗ_i＝{p_i, H} q̇_i＝{q_i, H}

#解析力学_Hamilton形式編 47 Q. ṗ_i={p_i, H} q̇_i={q_i, H} #ハミルトン方程式 を 偏微分記号の代わりに #ポアソン括弧 を使って書き直すと 何が嬉しい？ A. ・負号が無く2式がより対称. ・「#ハミルトニアン とのポアソン括弧は時間微分に相当」というハミルトニアンの意味がより強調される.

#解析力学_Hamilton形式編 46 Q. #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p を #ポアソン括弧 を使い書き直せ A. 前ツイまでの計算により {p_i, H}＝－∂H/∂q_i {q_i, H}＝∂H/∂p_i ∴ ṗ_i＝{p_i, H} q̇_i＝{q_i, H} ※上記は ∂X/∂t＝0 の時 Ẋ＝dX/dt＝{X, H} という結果と一致する.

#解析力学_Hamilton形式編 45 Q. #ポアソン括弧 の定義に従い { q_N, H } を計算せよ A. {q_N, H} ＝Σ_i (∂q_N/∂q_i・∂H/∂p_i－∂H/∂q_i・∂q_N/∂p_i) ① 第1項の∂q_N/∂q_iはi＝Nの時のみ1で他は0。 第2項の∂q_N/∂p_iはiによらず常に0。 ∴①＝∂q_N/∂q_N・∂H/∂p_N ＝∂H/∂p_N

#解析力学_Hamilton形式編 44 Q. #ポアソン括弧 の定義に従い { p_N, H } を計算せよ A. {p_N, H} ＝Σ_i (∂p_N/∂q_i・∂H/∂p_i－∂H/∂q_i・∂p_N/∂p_i) ① 第1項の∂p_N/∂q_iはiによらず常に0。 第2項の∂p_N/∂p_iはi＝Nの時のみ1で他は0。 ∴①＝－∂H/∂q_N・∂p_N/∂p_N ＝－∂H/∂q_N

#解析力学_Hamilton形式編 43 Q. 時間による #全微分 を #ポアソン括弧 で表す式 dX/dt = ∂X/∂t + {X, H} に X=H を代入すると #ハミルトニアン が時間に陽に依存しない場合 dH/dt = 0 ↑ 意味は? A. 「時間的に変化する外場が働いていない時， #エネルギー は保存する」という意味.

#解析力学_Hamilton形式編 42 Q. 物理量Xの時間変化を #ポアソン括弧 で表すと dX/dt = ∂X/∂t + {X, H} では #ハミルトニアン が時間に陽に依存しない場合 X=H を代入するとどうなる? A. dH/dt = ∂H/∂t + {H, H} ここで ∂H/∂t = 0 かつ {H, H} = 0 なので dH/dt = 0+0 = 0

#解析力学_Hamilton形式編 41 Q. #ポアソン括弧 の定義式は { f, g } ＝ Σ_i (∂f/∂q_i・∂g/∂p_i － ∂g/∂q_i・∂f/∂p_i) では，ある物理量Xについて { X, X } を求めるとどうなるか? A. { X, X } ＝ Σ_i ( ∂X/∂q_i・∂X/∂p_i － ∂X/∂q_i・∂X/∂p_i ) ＝0

#解析力学_Hamilton形式編 40 Q. 物理量が時間に陽に依存しない場合 ∂X/∂t＝0より Ẋ＝{X, H} ↑ これが成立しないのって どういう例外的な状況? A. 例えば 速度1[m/s]で移動するロボットアームの先端に 粒子が固定されている場合 この粒子の位置qはtに陽に依存し q＝q(t)＝tで ∂q/∂t＝1≠0

#解析力学_Hamilton形式編 39 Q. ある物理量Xの時間変化を #ポアソン括弧 で表すと dX/dt ＝ ∂X/∂t ＋ {X, H} では，物理量が時間に陽に依存しない場合 「#ハミルトニアン とポアソン括弧をとる」事は 何を意味する？ A. ∂X/∂t＝0 の時 dX/dt＝Ẋ＝{X, H} つまり「時間微分」を意味する.

#解析力学_Hamilton形式編 38 Q. 前ツイまでの準備内容を踏まえ， ある物理量Xの時間変化を #ポアソン括弧 で表せ. A. dX/dt＝ ∂X/∂t＋Σ_i ( (∂X/∂q_i) dq_i/dt＋ (∂X/∂p_i) dp_i/dt ) ＝ ∂X/∂t＋Σ_i ( (∂X/∂q_i) (∂H/∂p_i)－ (∂X/∂p_i) (∂H/∂q_i) ) ＝ ∂X/∂t ＋ {X,H}

#解析力学_Hamilton形式編 37 #ポアソン括弧 導入の前準備・その2 Q. 時間微分を ドットではなく dt を使った表記にして #ハミルトンの正準方程式 を書け. A. q̇_i ＝ dq_i / dt ＝　 ∂H / ∂p_i ṗ_i ＝ dp_i / dt ＝－ ∂H / ∂q_i

#解析力学_Hamilton形式編 36 #ポアソン括弧 を導入することの 必要性を知るため 少し前準備しましょう. Q. 時間と #正準変数 に依存する物理量 X( t, q_1, …, q_n, p_1, …, p_n ) を全微分せよ. A. 全微分の定義より dX＝ (∂X/∂t) dt ＋Σ_i (∂X/∂q_i) dq_i ＋Σ_i (∂X/∂p_i) dp_i

#解析力学_Hamilton形式編 35 Q. 位置 x と運動量 p がある系で #ポアソン括弧 { x, x } と { p, p } を求めよ. A. { x, x } ＝ (∂x/∂x)･(∂x/∂p)－(∂x/∂x)･(∂x/∂p) ＝ 1・0－1・0 ＝ 0 { p, p } ＝ (∂p/∂x)･(∂p/∂p)－(∂p/∂x)･(∂p/∂p) ＝ 0・1－0・1 ＝ 0

#解析力学_Hamilton形式編 34 Q. 位置 x と運動量 p がある系で その #ポアソン括弧 { x, p } を求めよ. A. { x, p } ＝ (∂x/∂x)･(∂p/∂p)－(∂p/∂x)･(∂x/∂p) ＝ 1・1－0・0 ＝ 1

#解析力学_Hamilton形式編 33 #ポアソン括弧 の覚え方 {f, g}＝Σ_i (∂f/∂q_i・∂g/∂p_i－∂g/∂q_i・∂f/∂p_i) ∂f　　∂g　　 ∂g　　∂f ──・── － ──・── ∂q_i　 ∂p_i　　∂q_i　∂p_i 第2項は { } の中身にあるf,gを入れ換え負号を付与. 分母の変数q,pの順序は固定.

#解析力学_Hamilton形式編 32 Q. #ハミルトン力学 における #ポアソン括弧 {f, g} の定義を述べよ A. Poisson Bracket ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D… #正準共役 量 q_1, …, q_n p_1, …, p_n #相空間 上の関数 f(q, p) g(q, p) に対し {f,g}=Σ_i (∂f/∂q_i・∂g/∂p_i－∂g/∂q_i・∂f/∂p_i)

#解析力学_Hamilton形式編 31 Q. #正準変数( q, p )を #正準変換 で 別の正準変数( Q(q,p,t,), P(q,p,t) )に写す時 おのおのどんな #正準方程式 を満たすか? A. #ハミルトニアン H(q,p,t)に対し ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p ↓ ハミルトニアン K(Q,P,t)に対し Ṗ=－∂K/∂Q Q̇=　∂K/∂P

#解析力学_Hamilton形式編 30 Q. #正準変換 とは A. 正準変換(canonical transformation) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3… #正準変数( q, p )を 新しい別の正準変数( Q(q,p,t,), P(q,p,t) )に 写す変数変換. (q, p) および (Q, P) は それぞれの #ハミルトニアン に対し #正準方程式 を満たす.

#解析力学_Hamilton形式編 29 Q. #解析力学 における #正準共役 とは A. 正準共役変数 canonical conjugate variable 「せいじゅんきょうやく」と読む. #一般化座標 q_i と #一般化運動量 p_i は 互いに #共役(正準共役)な変数である. 例: p_1 は q_1 の共役運動量 q_2 は p_2 の共役座標

#解析力学_Hamilton形式編 28 Q. #ラグランジアン よりも #ハミルトニアン のほうが 有名な気がしてしまうのですが…why? A. #量子力学 の演算子導入部で ハミルトニアンを使って数式を記述しますし ハミルトニアン(全エネルギー)に比べ ラグランジアンの物理的意味を解釈しづらいためかと

#解析力学_Hamilton形式編 27 Q. #ラグランジュ形式 と比較して #ハミルトン形式 のメリット&デメリット A. デメリット: #オイラー・ラグランジュ方程式 と比べ #ハミルトンの正準方程式 は 変数も方程式も個数が2倍. メリット: #微分方程式 の階数が1階で済み #量子力学 へ移行もしやすい.

#解析力学_Hamilton形式編 26 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p それぞれ何を求めるための物? A. ①Lを求めるのではなく q(t)を求めるための方程式. ②Hを求めるのではなく q(t)とp(t)を求めるための方程式.