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#群論入門_作用と軌道編 69 Q. 集合Xに #作用 する #有限群 G について, #バーンサイドの補題 | X/G | = (1 / |G|) Σ{g∈G} | X^g | の式の意味を 定性的に解釈すると. A. 「#軌道 の総数は, #群 Gの各元gごとに生み出す 集合X内の #固定 点の個数を G内で平均をとったものと等しい.」
#群論入門_作用と軌道編 66 Q. 集合 X に #作用 する #有限群 G がある時, Gの #位数 |G| と Gの各元が生む #不動点 の個数 |X^g| が分かれば Xの #軌道 の総数は | X/G | = (1 / |G|) Σ{g∈G} | X^g | この式を何と呼ぶか. A. #バーンサイドの補題 (コーシー・フロベニウスの定理)
#群論の知識 #バーンサイドの定理 (Burnside theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… ・「p, q は素数, a, b は 0 以上の整数として, #位数 が (p^a)・(q^b) である #有限群 G は #可解群 である」 ・1904年に #バーンサイド が 有限群の #表現論 を使って証明.
#群論の知識 バーンサイド問題 (Burnside problem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… 1902年:どの元も有限 #位数 を持つような #有限生成 群は,必ず #有限群 か? ↓ 1964年:反例 ↓ その後,条件を変えて研究が続く. 下記PDFの13ページ参照 jstage.jst.go.jp/article/sugaku… 「有限群論の成果と課題」
#群論入門_置換群編 116 ケーリーの定理 (Cayley's theorem) en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27… every group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group acting on G 任意の #有限群 Gは 「Gに対して #作用 する #対称群 の #部分群」に #同型. つまり,ある #置換群 に同型.
#群論の知識 #モジュラー表現論 (modular representation theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2… ・ #表現論 の一部として,有限群の 正 #標数 の #体 上での線型表現を研究. 下記PDFの論説を読むとよい. 「#有限群 のモジュラー表現論における予想について」 2013・宇野 jstage.jst.go.jp/article/sugaku… .
#群論入門_剰余類編 85 Q. #有限群 G が #部分群 H をもつ時, H の #位数 および #指数 がみたすべき条件とは. A. #ラグランジュの定理 より (Gの位数)=(Hの指数)×(Hの位数) なので, 「Hの位数も Hの指数も, Gの位数の約数でなければならない」 という制約条件がある.
#群論入門_剰余類編 82 Q. #群論 の #ラグランジュの定理 を証明せよ A. #有限群 Gの #部分群 Hによる #左分解 が G=H a_1+H a_2+…+H a_N ならば Hの #指数 は|G:H|=N. また |H a_1|=|H a_2|=…=|H a_N|=|H|. #類別 の性質より 各 #剰余類 は共通元を持たず |G|=N|H|=|G:H| |H|
#群論入門_剰余類編 81 Q. #群論 における #ラグランジュの定理 とは. A. #有限群 G が #部分群 H を持ち 群 G における部分群 H の #指数 を |G:H| とする時, 群 G の #位数 が 部分群 H の指数および位数を使って |G| = |G:H| |H| と表せることをいう.
#群論の知識 #有限アーベル群 (finite abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… #有限群 かつ #アーベル群. #有限生成アーベル群 の特別な場合. さまざまな応用がある: ・調和解析 ・合同算術 ・ #ガロア理論 ・情報理論
#群論入門_正規部分群編 39 2つの #交換子 の積が 交換子とならない 最小位数の #有限群 は #位数 96. その証明論文: Commutators and Commutator Subgroups ROBERT M. GURALNICK (1982) core.ac.uk/download/pdf/8… "Here it is shown that the smallest groups G ... are of order 96. "
#群論入門_正規部分群編 37 交換子全体の集合が 積(#二項演算)について閉じていない件 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4… 引用: 「#交換子 2つ以上の積は 必ずしも交換子とは限らない. 2つの交換子の積が交換子とならない 最小 #位数 の #有限群 は, 位数 96 であることが知られている.」
#群論入門_正規部分群編 29 #有限群 のページに 「有限群は必ず組成列を持つ」との記載: ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… "「有限 #単純群 の完全な分類」 という目標は達成された。 つまり 任意の有限群の「組み立て部品」は 現在では完全に知られている。 (任意の有限群は #組成列 を持つ)"